1 семестр алгебры и геометрии

Учебные материалы для студентов первого семестра направления 09.03.04 «Программная инженерия»:

1. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества с заданным отношением эквивалентности. Основные примеры отношений эквивалентности (свободный вектор как класс эквивалентности отношения конгруэнтности на множестве связанных векторов евклидова пространства; вычет как класс эквивалентности отношения сравнимости по mod n на множестве целых чисел).
2. Определение группы. Абелевы группы (аддитивная, мультипликативная). 
3. Основные примеры: числовые множества относительно операций умножения и сложения, группа свободных векторов по сложению, матричные группы.
4. Линейно зависимые и линейно независимые векторы (определение, свойства). 
5. Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов. 
6. Разложение вектора на плоскости и в пространстве. Базис на плоскости, в пространстве. Координаты, действия с векторами в координатах. 
7. Признаки коллинеарности и компланарности векторов в координатах. 
8. Радиус-вектор точки. Деление отрезка в данном отношении. 
9. Скалярное произведение векторов и его свойства. 
10. Численное значение проекции вектора на вектор. Выражение скалярного произведения в координатах. Применение скалярного произведения в геометрии. 
11. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов плоскости/пространства геометрических векторов. Ориентированная плоскость и ориентированное пространство. 
12. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. 
13. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. 
14. Определения кольца, поля, подкольца и подполя. Кольцо вычетов по модулю n. 
15. Условия, при которых кольцо вычетов является полем. 
16. Характеристика поля (определение). Понятие изоморфизма алгебраических структур, основные примеры. 
17. Поле комплексных чисел (определение). 
18. Тригонометрическая форма представления комплексного числа. Формула Муавра. 
19. Извлечение корней из комплексного числа. 
20. Определение алгебры над произвольным полем. Основные примеры: алгебра геометрических векторов, алгебра матриц, алгебра кватернионов.
21. Системы координат. Векторная система координат с данным полюсом, аффинные и декартовы системы координат.
22. Полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат. 
23. Формулы преобразования координат точки в аффинной системе координат.
24. Основные формулы аналитической геометрии: Вектор, определяемый двумя точками. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Объем тетраэдра.
25. Основная теорема о прямой на плоскости. 
26. Условие параллельности вектора и прямой на плоскости.
27. Основные виды уравнений прямой на плоскости. 
28. Расположение точек относительно прямой на плоскости.
29. Взаимное расположение прямых на плоскости. 
30. Угловой коэффициент прямой на плоскости. 
31. Условие перпендикулярности вектора и прямой. 
32. Угол между прямыми на плоскости. 
33. Расстояние от точки до прямой на плоскости. 
34. Основная теорема о плоскости в пространстве. 
35. Условие параллельности вектора и плоскости. Исследование общего уравнения плоскости (Теорема 3 из файла. ДЗ от 20.12.2023). 
36. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. 
37. Расположение точек относительно плоскости в пространстве. 
38. Основные виды уравнений плоскости в пространстве в аффинных и декартовых координатах. 
39. Основная теорема о прямой в пространстве. 
40. Условие параллельности вектора и прямой в пространстве. 
41. Основные виды уравнений прямой в пространстве в аффинных и декартовых координатах. 
42. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. 
43. Угол между прямыми в пространстве, между плоскостями и между прямой и плоскостью. 
44. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве. 
45. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Вопросы на 5:
Теорема о существовании и единственности поля комплексных чисел. 
Векторные уравнения прямых и плоскостей