2 семестр математический анализ

Здесь приведены необходимые материалы для направления 09.03.04 «Программная инженерия».

Коллоквиум

Программа коллоквиума и ссылки на конспекты здесь.

Экзамен

1. *Несобственные интегралы Римана двух типов. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Признаки абсолютной сходимости несобственных интегралов.
2. **Признаки условной сходимости несобственных интегралов. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
3. *Числовой ряд, сумма ряда, сходящийся числовой ряд. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда.
4. *Абсолютная сходимость числовых рядов, связь со сходимостью. Признак мажорации и признак сравнения.
5. *Признаки Коши и Даламбера.
6. **Признаки Абеля, Дирихле, Лейбница. Понятие условно сходящегося ряда.
7. Сумма ряда как обобщение суммы конечного числа слагаемых: сочетательный закон, коммутативный закон для абсолютно сходящихся рядов.
8. **Теорема Римана.
9. Произведение числовых рядов, согласованное с произведением частных сумм. Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов.
10. Равномерная норма функций и ее свойства. Поточечная и равномерная сходимости функциональных последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости.
11. *Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость предела функциональной последовательности.
12. *Функциональные ряды. Поточечная, равномерная и нормальная сходимости функциональных рядов, их связь. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
13. **Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда..
14. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы функционального ряда.
15. *Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля.
16. *Свойства суммы степенного ряда.
17. Ряд Тейлора и понятие аналитической в точке функции. Определение элементарных функций степенными рядами.
18. Пространство R^m. Последовательности в R^m и их свойства.
19. Вектор-функции векторного переменного. Предел и непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Равномерная непрерывность и теорема Кантора. Теорема о непрерывном образе компакта и ее следствия.
20. Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и ее следствия.
21. *Частные производные функции многих переменных. Дифференцируемость в точке функции многих переменных. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Теорема о существовании частных производных у дифференцируемой функции.
22. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость и вектор нормали к графику дифференцируемой функции.
23. *Достаточное условие дифференцируемости.
24. *Дифференцирование сложной функции.
25. *Производная по направлению и вектор градиент. Свойства вектора градиента.
26. Частные производные высшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Непрерывно дифференцируемые и k-непрерывно дифференцируемые функции. Дифференциалы первого и высших порядков.
27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и форме Пеано.
28. *Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
29. Дифференцируемые вектор-функции, матрица Якоби и якобиан.
30. **Неявные функции. Теорема о неявной функции.
31. Условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума и метод множителей Лагранжа.
32. Плоские множества, измеримые по Жордану.
33. Определение двойного интеграла. Критерий интегрируемости и достаточные условия интегрируемости. Основные свойства двойного интеграла.
34. *Сведение двойного интеграла к повторному.
35. Замена переменных в двойном интеграле.

Примечание. 1. Вопросы, отмеченные звездочкой, учить с доказательством всем.

2. Вопросы, отмеченные двумя звездочками, входят в программу экзамена без доказательства.