$\sigma(P)=f(\xi_P)\Delta x_k \overset{df}\Leftrightarrow$ интегральная сумма Римана
$]$ $f$ опр. и огр. на $[a,b]$, $P=P_{[a,b]}=\{x_k\}_{k=1}^n$ — разбиение $[a,b]$, $M_k = \sup\limits_{x \in \Delta_k}f(x)$, $m_k = \inf\limits_{x \in \Delta_k}$ f(x)
$\underline S(P) =$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}M_k \Delta x_k \overset{df} \Leftrightarrow$ верхняя сумма Дарбу
$\overline s(P) =$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k \Delta x_k \overset{df} \Leftrightarrow$ нижняя сумма Дарбу
Свойства сумм Дарбу
- $\overline s(P) \leq \sigma(P, \xi_P) \leq \underline S(P)$
- $\forall P$ $\forall \epsilon > 0$ $\exists \xi_P$ $0 \leq \underline S(P) — \sigma(P, \xi_P) < \epsilon$ ($0 \leq \sigma(P, \xi_P) — \overline s(P) < \epsilon$)
- $\forall P_1, P_2$ $\overline s(P_1) \leq \underline S(P_2)$
- $P_1 \subset P \Rightarrow$ $\underline S(P_1) \geq \underline S(P)$, $\overline s(P_1) \leq \overline S(P)$