$\sigma(P) =$ $\sigma(P, \xi_P) =$ $\sigma(f, P, \xi_P) =$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \overset {df} \Leftrightarrow$ интегральная сумма Римана, где
$P =$ $P_{[a,b]} =$ $\{x_k\}_{k=0}^n$ — разбиение отрезка [a,b].
$\Delta_k = [x_{k-1}, x_k]$, $\Delta x_k = x_k — x_{k-1}$
$d = \displaystyle\min_{1 \leq k \leq n}{\Delta x_k}$ — диаметр разбиения $P$.
$\xi_P =$ $\{\xi_k\}_{k=1}^{n}$, где $\forall k \in \{ 1,\dots,n$ \} $\xi_k \in \Delta_k$ — система промежуточных точек.
$I =$ $\lim\limits_{d \to 0}{\sigma(P)}$, если $\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ $\forall(P, \xi_k)$ $(d(P) < \delta \Rightarrow \sigma(P, \xi_k) — I < \epsilon) $ $\overset{df}{\Leftrightarrow}$ интеграл Римана
Необходимое условие интегрируемости:
$f \in \Re_{[a,b]} \Rightarrow$ $f$ — огр.