Группы

Группа — это замкнутое множество $G$ с операцией умножения, обладающее следующими свойствами:

$$\forall a, b, c \in G:$$

1. Ассоциативность: $a(bc) = (ab)c$
2. Существование единицы: $\exists \varepsilon \in G \forall a \in G \varepsilon a = a \varepsilon = a$
3. Существование обратного элемента: $\forall a \in G \exists a^{-1} \in G aa^{-1} = a^{-1}a = \varepsilon$

Аддитивная абелева группа

Аддитивная абелева группа — это множество $A$ с операцией сложения, обладающее следующими свойствами:

1. Коммутативность: $\forall a, b \in A a + b = b + a$
2. Существование нуля: $\forall a \in G 0 + a = a + 0 = a$
3. Существование обратного элемента: $\forall a \in G a+(-a) = (-a)+a = 0$

Мультипликативная абелева группа

Мультипликативная абелева группа — это группа $G$ со свойством коммутативности:

$$\forall a, b \in G ab = ba$$