Примеры групп. Матричные группы

Множества относительно операций сложения

Рассмотрим множество целых чисел относительно сложения, то есть $<\mathbb{Z}, +>$:

$\forall a, b, c \in \mathbb{Z}$

1. Очевидно, что выполняется замкнутость: $a + b \in \mathbb{Z}$
2. Ассоциативность: $a + (b + c) = (a + b) + c$
3. Существование нуля: $a + 0 = 0 + a = a$
4. Существование обратного: $a + (-a) = 0$

Следовательно, $\mathbb{Z}$ — аддитивная абелева группа.

Множества относительно операций умножения

Рассмотрим $<\mathbb{Q}^*, \circ>$, где $\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\\\{0\}$, $a \circ b = \frac{ab}{2}$. $\forall a, b, c \in \mathbb{Q}^*$:

1. Очевидно, что выполняется замкнутость: $a \circ b \in \mathbb{Q}^*$
2. Ассоциативность: $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$
3. Существование единицы: $a \circ \varepsilon = a, \varepsilon = 2$
4. Существование обратного: $a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = \varepsilon, a^{-1} = \frac{4}{a}$

Множество свободных векторов

Рассмотрим $<V, +>$, где $V$ — множество свободных векторов.

1. Замкнутость: $(a_1, a_2) +$ $(b_1, b_2) =$ $(a_1 + b_1, a_2 + b_2)$
2. Ассоциативность: $(a_1, a_2)$ $+$ $((b_1, b_2)$ $+$ $(c_1, c_2))$ $=$ $((a_1, a_2)$ $+$ $(b_1, b_2))$ $+$ $(c_1, c_2)$ $=$ $(a_1 + b_1 + c_1, a_2 + b_2 + c_2)$
3. Существование нуля: $(a_1, a_2) +$ $(0, 0) =$ $(0, 0) +$ $(a_1, a_2) =$ $(a_1, a_2)$
4. Существование обратного: $(a_1, a_2) +$ $(-a_1, -a_2) =$ $(-a_1, -a_2) +$ $(a_1, a_2) =$ $(0, 0)$

Матричные группы

• Полная линейная группа
  $$GL(n, \mathbb{R}) = GL(n) = \{X \in M(n): \det X \neq 0 \}$$
• Специальная линейная группа
  $$SL(n, \mathbb{R}) = SL(n) = \{X \in M(n): \det X = 1 \}$$
• Ортогональная группа
  $O(n, \mathbb{R}) = O(n) = {X \in M(n): XX^T = E}$, где $E$ — единичная матрица.
• Специальная ортогональная группа
  $$SO(n, \mathbb{R}) = O(n) = {X \in M(n): XX^T = E, \det X = 1 }$$