$]$ $[a,b]$ — отрезок на числовой прямой. Набор точек $\{x_k\}^n_{k=0}$ такой, что $$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b, $$ будем называть разбиением отрезка $P$ = $P_{[a,b]}$: $$P = P_{[a,b]} = \{x_k\}^n_{k=0}$$
Обозначим $\Delta_k = [x_{k-1}, x_k]$, $\Delta x_k = x_k — x_{k-1}$ ($k = 1, \dots, n$).
Диаметром разбиения $P$ назовём число $d =$ $d(P) =$ $\underset {1 \leq k \leq n}{max} \Delta x_k$.
Систему точек $\xi_P =$ $\{\xi_k\}^n_{k=1}$ такую, что $\xi_k \in \Delta_k$, $k = 1, \dots, n$, будем называть системой промежуточных точек, соответствующей разбиению $P$.
Определение. Пусть вещественнозначная функция f определена на отрезке $[a,b]$. Сумма $$\sigma(P) = \sigma(P, \xi_P) = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k$$ называется интегральной суммой Римана функции $f$.
Геометрический смысл интегральной суммы Римана состоит в том, что, если функция f неотрицательна и непрерывна, то интеграл Римана – это площадь криволинейной трапеции, которая ограничена линией графика и осью O_x.
Определение. Число $I$ называют пределом интегральных сумм Римана функции $f$ при $d \to 0$ и обозначают $I = \lim_{d \to 0}{\sigma(P)}$, если $$\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall (P, \xi_P) \, (d(P) < \delta \Rightarrow |\sigma(P, \xi_P) — I| < \epsilon)$$
Функцию $f$ в этом случае называют интегрируемой по Риману на отрезке $[a, b]$, а число $I$ — интегралом Римана и обозначают символом $$\int_a^b f(x)dx = I$$
Теорема об ограниченности интегрируемой функции
$f$ — интегрируема на $[a, b]$ $\Rightarrow$ $f$ — ограничена
Доказательство
От противного. Пусть $f$ не ограничена на $[a, b]$ и $P$ — произвольное разбиение отрезка. Тогда $\exists i \in \mathbb{N}$ $f$ не ограничена на $\Delta_i$. Представим сумму Римана $$\sigma(P) = f(\xi_i) \Delta x_i + \sum_{k=1,k \neq i}^n f(\xi_k) \Delta x_k = f(\xi_i) \Delta x_i + A$$
В силу свойств модуля имеем
$|\sigma(P)| =$ $|f(\xi_i) \Delta x_i + A| \geq$ $|f(\xi_i)| \Delta x_i — |A|$
Для произвольного числа $M > 0$ $\exists \xi_i \in \Delta_i$ такая, что
$|f(xi_i)| >$ $\frac{|A|+M}{\Delta x_i}$.
Тогда $|\sigma(P)| > M$ и интегральные суммы не имеют предела $\Rightarrow$ противоречие интегрируемости $f$.
Теорема доказана.