Несобственные интегралы Римана двух типов и их простейшие свойства. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

$]$ $f$ опр. на $[a,+\infty]$ и $\forall b \in [a,+\infty]$ $f \in \Re_{[a,b]}$. Тогда:

\displaystyle\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx =$ $\lim\limits_{b \to +\infty} \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx \overset{df}\Leftrightarrow$ несобственный интеграл первого типа.

Если предел не сходится, обозначение несобственного интеграла также используется, но при этом отмечается, что интеграл несобственный. Несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^b f(x)dx$ определяется аналогично.

$]$ $f$ опр. на $[a, \beta)$ и $\forall b \in [a,\beta)$ $f \in \Re_{[a,b]}$. Тогда:

$\displaystyle\int\limits_a^\beta f(x)dx =$ $\lim\limits_{b \to \beta} \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx \Leftrightarrow$ несобственный интеграл второго типа.

Введём общее обозначение для несобственных интегралов первого и второго типа.

$]$ $f$ опр. на конечном или бесконечном промежутке $[a, \omega)$ и $\forall b \in [a,\omega)$ $f \in \Re_{[a,b]}$. Тогда:

$\displaystyle\int\limits_a^\omega f(x)dx =$ $\lim\limits_{b \to \omega} \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx$

Свойства несобственных интегралов

1. $\omega \in \mathbb{R} \Rightarrow$ понятия собственного и несобственного интегралов совпадают
2. $\forall c \in [a,\omega)$ $\displaystyle\int\limits_a^\omega f(x)dx =$ $\displaystyle\int\limits_a^c f(x)dx +$ $\displaystyle\int\limits_c^\omega f(x)dx$
3. $\forall \lambda_1, \lambda_2$ $\displaystyle\int\limits_a^\omega (\lambda_1 f(x) + \lambda_2 g(x))dx =$ $\lambda_1\displaystyle\int\limits_a^\omega f(x)dx +$ $\lambda_2\displaystyle\int\limits_a^\omega g(x)dx$
4. $\varphi\uparrow\uparrow$ непр. дифф. на $[a,\omega)$, $\varphi(\alpha) = a$, $\lim\limits_{\beta \to \omega}{\varphi(\beta)} = \omega$
   $\displaystyle\int\limits_a^\omega f(x)dx =$ $\displaystyle\int\limits_\alpha^\gamma f(\varphi(x))\varphi'(x)dx$

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла

$\displaystyle\int\limits_a^\omega f(x)dx$ — сх. $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0$ $\exists B \in [a,\omega)$ $\forall b_1, b_2 > B$ $\bigg|\displaystyle\int\limits_{b_1}^{b_2} f(x)dx\bigg| < \epsilon$