Скалярное произведение векторов, заданных координатами относительно базиса $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots, \vec{e}_n)$, выражается формулой:
$$ (\vec a, \vec b) = \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} a_i b_j, $$
где $g_{ij} = (\vec{e}_i, \vec{e}_j)$ — метрические параметры базиса.
Метрические параметры базиса
Метрические параметры (коэффициенты) — это скалярные произведения пар векторов заданного базиса. В формуле скалярного произведения базиса мы умножаем их на соответствующие им координаты:
$$ \forall i, j \in \{1, 2, \cdots, n\} \; g_{ij} a_i b_j = (\vec{e}_i, \vec{e}_j) a_i b_j $$
Скалярное произведение на плоскости
Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на плоскости, заданных координатами относительно базиса $(\vec{e}_1,\vec{e}_2): \vec{a}(a_1, a_2), \vec{b}(b_1, b_2)$ выражается формулой:
$$ (\vec{a}, \vec{b}) = g_{11} a_1 a_2 + g_{12} (a_1 b_2 + a_2 b_1) + g_{22} a_2 b_2 $$
в частности, $$ \vec{a}^2 = g_{11} (a_1)^2 + g_{12} (a_1 a_2) + g_{22} (a_2)^2, $$
где $g_{11} = \vec{e}_1^2$, $g_{12} = (\vec{e}_1, \vec{e}_2)$, $g_{22} = \vec{e}_2^2$.
Для ортонормированного базиса $(\vec i, \vec j)$:
$$ (\vec a, \vec b) = a_x b_x + a_y b_y $$
В частности,
$$ \vec{a}^2 = a_x^2 + a_y^2 $$
Скалярное произведение в пространстве
Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на плоскости, заданных координатами относительно базиса $(\vec{e}_1,\vec{e}_2, \vec{e}_3): \vec{a}(a_1, a_2, a_3), \vec{b}(b_1, b_2, b_3)$ выражается формулой:
$$ (\vec a, \vec b) = \sum_{i,j=1}^{3} g_{ij} a_i b_j, $$
Для ортонормированного базиса $(\vec i, \vec j, \vec k)$:
$$ (\vec a, \vec b) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$
В частности,
$$ \vec{a}^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 $$